多重网格法在二维非恒定水沙数学模型中的应用(曹志芳, 赵明登, 李义天)

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多重网格法在二维非恒定水沙数学模型中的应用水利论文F~%x1h;X?

曹志芳赵明登李义天水利论文_0a2vTyIf.I
(武汉大学 水沙科学教育部重点实验室)

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摘要:计算速度是影响二维非恒定流数学模型应用推广的主要原因之一。本文采用了多重网格方法以提高其计算速度,同时为了适应复杂不规则的边界条件和水下地形,利用坐标变换来克服天然河道复杂边界条件给模拟带来的困难,通过算例分析了多重网格法的收敛特性,并采用长江武汉河段的实测资料对所建的水沙数学模型进行了验证。

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关键词:多重网格方法; 混合有限分析法; 坐标变换; 数学模型

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作者简介:曹志芳(1974-),女,武汉大学博士。

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1 前言水利论文H'h0uO*X?

在二维非恒定流数值模拟中,最主要的问题之一在于其收敛速度慢,迭代次数多,花费时间较长。多重网格法是近二十多年来新发展起来的一种快速迭代方法,目前在许多学科中得到了广泛应用,尤其在计算流体力学中,应用尤为广泛(刘超群,1995、彭文启,1994)。但多重网格法在水沙数学模型中的应用不多,尤其是在大范围内的平面二维水沙数学模型中,目前研究很少。本文将多重网格方法引入平面二维非恒定水沙数学模型中,以加快其计算速度。在模型建立过程中采用混合有限分析法五点格式离散基本控制方程,该格式具有自动迎风的特点,具有很好的收敛特性。水利论文e3h3dreLn~

2 多重网格法基本原理水利论文/N'A+]!Pr'}

微分方程的误差分量可以分为两大类,一类是频率变化较缓慢的低频分量;另一类是频率高,摆动快的高频分量。一般的迭代方法可以迅速地将摆动误差衰减,但对那些低频分量,迭代法的效果不是很显著。高频分量和低频分量是相对的,与网格尺度有关,在细网格上被视为低频的分量,在粗网格上可能为高频分量。水利论文"X*NQ;S"F2g

多重网格方法作为一种快速计算方法,迭代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组,其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。该方法采用不同尺度的网格,不同疏密的网格消除不同波长的误差分量,首先在细网格上采用迭代法,当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑,则转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量,这样逐层进行下去直到消除各种误差分量,再逐层返回到细网格上。水利论文;?9Q9c5Q"]"q'q*c-A

目前两层网格方法从理论上已证明是收敛的,并且其收敛速度与网格尺度无关[哈克布思,1988]。 多重网格法是迭代法与粗网格修正的组合,经过证明迭代法可迅速地将那些高频分量去掉,粗网格修正则可以帮助消除那些光滑了的低频分量,而对那些高频分量基本不起作用。水利论文0A)L&^j-cc.W

在多重网格计算中,需要一些媒介把细网格上的信息传递到粗网格上去,同时还需要一些媒介把粗网格上的信息传递到细网格上去。限制算子Iih(i-1)h是把细网格i-1层上的残余限制到粗网格i层上的算子,最简单的算子是平凡单射,另外还有特殊加权限制;插值算子Iih(i-1)h是把粗网格i层上的结果插值到细网格i-1层上的算子,一般采用线性插值或完全加权限制算子。

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因为水流方程为非线性方程,在此以二重网格的全近似格式FAS(Full Approximation Storage)为例进行说明多重网格的迭代过程。首先定义Lh为细网格上的差分算子,L2h为粗网格上的差分算子。在细网格上对离散的水流运动方程进行光滑迭代LhWh=fh,当前后两次迭代的误差小于规定的误差范围时,转向粗网格计算;在粗网格上迭代求解L2hW2h=L2hIh2hWh+Ih2h(fh-LhWh),当前后两次迭代的误差小于规定的误差范围时,转向细网格计算;然后进行粗网格修正Wh←Wh+Ih2h(W2h-Ih2hWh);粗网格修正后,重复上述过程,直到计算结果满足精度要求为止。

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需要说明的是在多重网格迭代方法中,粗网格修正之前,细网格必须进行光滑迭代,以消除高频误差,使粗网格修正最有效地发挥其作用;在粗网格修正之后,不可避免的引入高频误差,所以也必须进行光滑迭代,不过高频误差能很快的通过光滑迭代消除。水利论文j&`'MSqJS%O8|+Z

3 平面二维水沙数学模型方程式和离散格式

8g5Z+dB&V2ThjI+D0

3.1 坐标变换后的基本方程式

(q SNRf0}*q ~0

坐标变换的目的是采用某种数值方法,将物理区域上不规则的复杂网格变换为计算区域上规则的计算网格。本文采用的Poisson方程变换为微分方程关系的变换(陈景仁,1989)。经过Poisson方程变换后,平面二维水沙数学模型的基本方程式可表示为水流连续方程

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水利论文Ds?3qMV `

(1)水利论文|{%mbS

水流动量方程水利论文.Lp4^^H

(2)
(3)

悬移质输沙方程

c4{Ew\q+`#k4LM8u,R0

水利论文z;E\]"[(]

(4)水利论文N9f-|.{RZz R6\B}

悬移质河床变形方程

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水利论文~YE BV6T

(5)

S$k)P{ Fv0

推移质河床变形方程水利论文?hA0Pm~

uqu+u Y3HG.e,U0

(6)水利论文 FX`2p0Xvo(i

阻力公式(糙率n)(李义天,1988)水利论文 [n#\+bTY'[

n=n1D/f(ζ)(J/J0)1/2水利论文Jf'?L?

(7)水利论文o:L$exja [

挟沙力公式(李义天,1986)

%U x1Zw'z#k*~0

s*i=K(0.1+90ωi/)3/ghωi

J*yBc*Dw[0

(8)水利论文9w{2Ez+o0O5o`

推移质输沙率公式(窦国仁公式,张瑞瑾,1988)水利论文R6f8b|2d9i,k&e"J _

qsb=k1/C20ρsρ/ρs-ρ(u-uc)3/gω水利论文%t e\f };C-_@ s xA

(9)水利论文| noUp o;k

其中;J为Jacobi矩阵J=xξyη-xηyξ;α=x2η+y2η;β=xξxη+yξyη;γ=x2ξ+y2ξ;h为水深;z为水位;u、v分别为x、y方向的垂线平均流速分量;s、s*分别为垂线平均含沙量和挟沙力;ω为泥沙沉速;z0si、z0bi分别为第i组悬移质和推移质引起的河床冲淤厚度;ρ′s、ρ′b分别为悬移质和推移质淤积物的干密度;d为泥沙粒径;ε和εs分别为紊动粘滞系数和泥沙扩散系数;αs为悬移质泥沙恢复饱和系数;sb为单宽推移质输沙率;qbix、qbiy分别为x、y方向的第i组推移质单宽输沙率; n为二维糙率系数;n1D为一维糙率系数;J0、J分别为一、二维比降;f(ζ)为经验函数,ζ为垂线在断面上的相对位置,函数各个系数的具体取值参见文献[4];K为断面挟沙力系数,按文献[4]中的K~u3/ghω关系曲线确定;uc为推移质平均粒径对应的起动流速,C0=h1/6/n;k1为经验系数;ξ,η分别为计算平面贴体坐标方向。

3.2 基本方程式的离散

Z)bP!h5Brv|0

在本模型中,采用混合有限分析法五点格式求解水流泥沙基本方程式,该格式具有自动迎风的特点,具有很好的收敛特性(李炜,2000)。水利论文l^7A0Y Bm

水流沿ξ、η方向的运动方程和悬移质输沙方程均可转化成如下形式水利论文 \(B S9in,iv9u

L6K9Sb!g/\ B0

(10)

4@lBPD0

上式采用混合有限分析法五点格式进行离散,可表达为

CKTet{]Cyk0

水利论文v!d qS ^#MO?

(11)

5pI+zB!jg(S#F8BOK,T0
在式(11)中采用有限差分方法离散,且(i-1, j),(i+1, j),(i, j-1)和(i, j+1)用1、2、3、4来表示,可得到下面的表达式

B(PK8p:O%YLZ0

(12)水利论文!X*^F?6} P)k

在整个计算区域,可得到各节点上形式为(12)的代数方程组,结合边界条件,利用高斯—赛德尔迭代法或追赶法求解,同时结合水流连续方程,可计算出各节点上相应的水沙要素。

P.A*]2h,Mu0

4 多重网格方法的应用水利论文&Z{ w)l:Tfa'k R

在水流运动方程的求解过程中,速度场和压力场的迭代求解耗费很长的时间,模型中引用多重网格方法,以加快收敛。考虑到水流运动方程的拟线性特征,在此采用FAS格式进行迭代。由于数值模拟计算中网格的划分要能够反映河道的实际水沙运动特性,网格步长不能取的太大,在此采用双重网格进行计算。且在计算中为了便于采用多重网格方法,计算网格采用非交错网格。限制算子取为简单的平凡单射。水利论文2x]m ts3|K4CV2Z

在计算过程中限制算子传递的信息有流速u、v及代表压力项的z。限制算子可定义为

|7H&o \Uf E e6p'Q0

Φ2h(ic,jc)=Φh(if,jf)水利论文~/z$i%t,P'A eox

(13)

gX?0UtD"f7qI~:u0

其中(ic,jc)和(if,jf)分别表示粗网格和细网格上的结点,并有如下关系

3xk)S;tT0

if=2ic-1,jf=2jc-1水利论文;g e!O#oz8o-X#I

Ih2h为插值算子,表示粗网格的函数信息向细网格传递。在计算过程中采用分片双线形插值方法构成插值算子,对于流速u,v和水位z有

3W7Q*?7c'KyW-B0

0|(q@ SiU0

(14)

h/rdAs!pDLMF0

粗网格修正包括对u、v和z的修正

N(]'P `s6O}EA0

Φh←Φh+Ih2h(Φ)[Φ2h-Ih2h(Φ)Φh]水利论文2VT2zBIeuWM TXA

(15)

2B4nAz ^1C9o#P0

其中在计算过程中Φ代指流速u,v和水位z。水利论文:w(YN5\0Wm+}?p-v

5 多重网格法的收敛特性分析及模型验证水利论文$v|9z!u-t1X*CIu

通过实际算例,本文分析了多重网格方法的收敛特性,同时采用武汉长江天兴洲河段实测资料,对所建的二维非恒定水沙数值模型进行了验证。水利论文6a s7T;Y+cYT0G

5.1 多重网格迭代的收敛特性水利论文'~lG Qn4~6s,A^

为了分析多重网格方法的收敛特性,在此采用非线性恒定问题进行计算分析。该问题的控制方程及边界条件为水利论文'Vgz[]C1B]W

(a<x,y<b)

{Lz2\p:\_ |fI0

φ(a,y)=0, φ(b,y)=0

^W$H&C:dx/lrZ:cp0

φ(x,a)=0, φ(x,b)=1水利论文}M;H6ECIa

在计算过程中采用中心差分方法对方程式进行离散,迭代过程选用高斯迭代方法,采用均匀非交错网格。在多重网格方法中选用V型循环格式,粗网格修正格式采用非线形方程的全近似FAS格式。水利论文i;x GwY!Tv)Re

在本算例中,分别对单层网格、两重网格、三重网格、四重网格情况等进行了计算分析,其中网格的划分为129×129、65×65、33×33及17×17四种格式。由于在计算过程中采用非交错网格,则在此限制算子Iii-1取为简单的平凡单射;插值算子Iii-1采用分片双线形插值方法。水利论文6C6fZp|M1R_

1 多重网格及收敛比较图
.z:Ex.H4uf0Fig.1 Comparison of convergence between single and multi-grid method

  图1(a)为采用单层网格及多重网格方法达到相同的收敛标准时所需要的计算工作量比较图。图中计算工作单位为在最细网格上进行一次迭代所需要的工作量,在粗网格上完成一次迭代所需要的计算工作量可以根据网格的粗化系数折算成一定的工作单位。图1(a)表明了单层网格计算所需要的计算工作量比多重网格方法多得多,且随着多重网格层数的增加,计算迭代到收敛所需要的计算工作量越来越少,收敛速度明显加快。水利论文#gV3D_/Kh9I ?

1(b)描绘了单层网格与多重网格达到相同的收敛标准时最细网格上的收敛曲线图,由图可以看出单层网格法在最初迭代中残差收敛较快,随着迭代次数的增加残差收敛逐渐减缓。在多重网格方法中可以看出残差呈快速收敛,且随着多重网格层数的增加,残差的衰减越快。水利论文g8YLQ(e/P5a4c

1(c)为采用两重网格进行计算时不同网格上残差收敛过程。图中不同网格上残差的收敛率几乎相等,这恰好说明了多重网格方法收敛的速度与网格的疏密无关。图1(d)为采用不同步长的两重网格进行计算时最细网格上残差收敛图,图中所示收敛曲线基本重合,证明了多重网格方法收敛的速度与网格的尺度无关,仅与网格结点数有关这一特性。

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5.2 二维水沙数学模型的验证

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采用长江武汉河段天兴洲汊道实测水沙资料对模型进行了验证。计算河段全长为16km,河道平面几何形态复杂,宽度变化较大,变化范围为1 000m~2 500m,包括天兴洲南北两汊,南汊为主流河道。验证过程中采用了双重网格方法,细网格节点为69×31,粗网格节点为35×16,每层网格中网格的长度、宽度尺寸相近。水利论文-v.]~,G"]4S]

验证计算所采用的水文资料为1985年8月~1987年9月的实测水沙资料。验证过程中,把采用单层网格和双重网格的计算收敛速度进行了比较。在相同的初始条件和边界条件下,达到相同的收敛标准时,在相同的计算条件下,采用双重网格方法的计算速度是采用单一网格速度的2倍多。水利论文_7~I.R+`$oI

2(a、b、c、d)为从地形验证资料中选取的典型断面的实测地形和计算结果比较图,由图可以看出,地形的计算结果与实测值基本吻合。图3、图4分别为典型断面的流速和含沙量实测值和计算值比较图,图中计算结果与实测值吻合较好,计算结果基本合理。水利论文"}\ A _!DZ;YK g~

2 典型断面计算值和实测值比较图
/Z vsa,E`0Fig.2 Comparison of computed bed elevation and field data at typical cross-sections

由天兴洲实测资料对模型的验证结果可知,本模型可成功地模拟天然河道的水沙运动,计算结果满足工程实际的需要,且大大加快了计算速度。

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6 结论水利论文7o,R8?_0sh:ELV

在二维非恒定水沙数学模型中,为了解决计算收敛速度较慢、计算时间较长这一问题,本文引入了多重网格法和混合有限分析法对基本控制方程进行数值离散。实际算例表明多重网格方法可大大提高计算速度,且其收敛速度与网格的疏密和网格的尺度无关。在此基础上采用武汉天兴洲河段的实测水沙资料对本文所建的平面二维非恒定水沙模型进行了验证计算,结果表明多重网格方法可以应用到大尺度大范围的模拟计算,且在保证计算精度的前提下,可以提高计算速度。水利论文#SO1kw;ERC

3 典型断面流速分布验证图
G| @+^gz:H0Fig.3 Comparison of computed velocity and field data at a typical cross-section
4 典型断面含沙量分布验证图水利论文j)q4A2A-NPsT
Fig.4 Comparison of computed sediment concentration and field data at a typical cross-section

参 考 文 献水利论文%qHOC L

[1] 李炜.粘性流体的混合有限分析解法.科学出版社,2000.水利论文.q-P"V2R iL B m

[2] 刘超群。多重网格法及其在计算流体力学中的应用。清华大学出版社,1995.水利论文'o%{:~7iw:B

[3] 彭文启,李炜。求解N-S方程的混合有限分析多重网格法。水利学报,1994,(11).水利论文8{b~,[x!]-W:E@

[4] 李义天。冲积河道平面变形计算初步研究。泥沙研究,1988,(3).水利论文.{!|_ @.[HQU

[5] 哈克布思。W. 多重网格方法。科学出版社,1988.水利论文"P-]#VZ7w2Gw

[6] 张瑞瑾,谢鉴衡等。河流泥沙动力学。水利电力出版社,1988.

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