Bingham体的连续流和阵性流研究中无量纲参数讨论(刘大有,段新平,章书成,余斌)

热度129票 浏览81次 【共0条评论】【我要评论 时间:2001年1月01日 19:17

Bingham体的连续流和阵性流研究无量纲参数讨论水利论文A3|_'q}w

刘大有1段新平1章书成2余斌2
Z&k4Nct xP&@0(1.中国科学院 力学研究所,2. 中国科学院 成都山地灾害与环境研究所

L`0_/D;pG}KN0

摘要:本文首先对轴对称管流、二维管流和明渠连续流研究中无量纲参数的选择进行评述,通过对这些有分析解的流动的讨论,说明采用无量纲表达式的优点、无量纲方法的多样性,以及适当选择基本量的重要性。最后讨论了Bingham体阵性流研究中基本量的合理选择。水利论文oTF%U^D

关键词:无量纲参数;Bingham体;连续流;阵性流

'o[UIn&M0

基金项目国家自然科学基金(49771003)和中国科学院“特别支持领域 山地灾害 泥石流与滑坡”的资助。水利论文7Lmo(~B

作者简介:刘大有(1939-),男,中科院力学所研究员。

F H)i+C(]6@5D3l AE0

1 引言水利论文/V:Up3B`A

  高含沙水流、泥石流中的浆体、工业中的水煤浆和其它许多化工原料的流变性质,都接近于Bingham体,它们都有显著的屈服应力τ0和较大的粘度μ0(又称刚度系数η)。水利论文E2mX(cr%R[;n

  近年来,人们针对一些典型流型(如二维明渠流动、二维管流和轴对称管流等)对Bingham体的阻力已有很多研究,还引入了各种无量纲参数进行讨论,例如,Reynolds数Re、Hedstrom数He和阻力系数f等。根据实际的重要性,人们主要研究层流运动,但也有一些论文讨论了Bingham体的紊流阻力。

+ielVL2jA1V2HP[0

  本文在一些典型连续流阻力研究的基础上,对无量纲参数的选择进行了讨论,并在此基础上研究了Bingham体阵性流的无量纲表示和独立无量纲量的个数。

[#Wu? PjnV*`0

基于以下几点考虑,本文不讨论Bingham体的紊流运动。水利论文DX cx|5mx

  1. Bingham体与牛顿体的差异仅在于是否存在屈服应力。如果流场中平均应力水平较高,远大于屈服应力,那么屈服应力的存在与否对流动的影响就比较小,就可以用牛顿体代替。事实上,许多介质也并非理想的Bingham体,当平均应力水平较高时,Bingham体近似未必比牛顿体近似更优越。当流动进入紊流区时,应力水平往往已很高,失去了当作Bingham体研究的必要性;水利论文|:QxAW/QQh _

  2. 当流动进入紊流区时,总有一定强度的紊流脉动,而Bingham体运动的重要特征是有流核存在。当有紊流脉动时是否还有流核?流核中是否有紊流脉动?流核如何影响紊流脉动?都是远没有研究清楚的问题;水利论文^9d/h(X l

  3. 高粘度介质在较高速度下运动时,有很大的机械能损失,它需要很大的功率输入,同时产生大量的热,这些热会显著改变介质的流变性质。

8z1UH"w/s6e1rQw)v$d0

2 几种定常连续流的流速与阻力

:[c&g7vr.CX@#g0

2.1 定常、轴对称管流

M}_ _/M9@L%Op:DZ+c0

  下面先用量纲理论对定常(/t=0)、轴对称(/φ=0,分速度w=0)、充分发展的管流(/x=0)进行分析。根据定性分析可知:流量和平均速度U依赖于负压梯度(-p/x,以下简写为P)、管径D、介质密度ρ、屈服应力τ0和粘性系数μ0对长度为Δx的一段管子所作的力平衡分析可得到壁面摩阻τw的表达式

T-v3a#JM ]%yQ0
(1)
πDτw=πD2P/4, τw=DP/4(2)

如选D、ρ和τ0作为基本量,它们的值分别作为长度、密度和应力的单位(基本量度单位),则时间、速度、加速度、粘性系数和压强梯度的单位分别为(Dρ1/2τ-1/20)、(ρ-1/2τ1/20)、(D-1ρ-1τ0)、(Dρ1/2τ1/20)和(D-1τ0),无量纲的流量[Q]、平均速度[U]、负压梯度[P]、壁面摩阻[τw]和粘性系数[μ0]分别定义为这时,式(1)可表示为[1]水利论文TLe dd3k.W

Nm;N0SU"RE0
(3)

1m[3Oo/B-FV(h0
(4)

量纲分析可以将依赖于五个参数的函数ξ简化为依赖于两个无量纲量的函数ζ,但是,它给不出该函数的具体形式。量纲分析方法是通用的,它能有效地减少未知函数中独立参数的个数,而未知函数具体形式的寻找,则只能具体问题具体分析了。可以利用该问题的相关理论进行分析求解,也可采用经验的方法。例如,对于牛顿流体,如果人们已知,流量与粘性系数成反比、与负压梯度成正比,就可显著简化该函数:ζ([P],[μ0])=C[P]/[μ0],其中C是一待定常数。对于Bingham体,虽然流量与负压梯度不再成正比,但仍与粘性系数成反比,所以函数ζ仍可得到适度地简化:ζ=ψ(P)/[μ0],其中ψ是一未知的单变量函数,它仍要用实验方法或理论方法来确定。但是它比确定双变量函数ζ简单得多。下面采用流体力学方法求解函数ψ(或者说ζ)。水利论文s a8q2_`i.{

  对于定常、轴对称管流,轴向(x方向)动量方程可简化为(τrx为粘性应力)

!?`bgF8U&eP){0

r-1(rτrx)/r+P=0水利论文:E#X3U3d,~h

(5)

!` [6u,Q bM0

解方程得到水利论文 Eg&R"M2Tp|.g FEP

τ00u/r≥-τrx(r)=rP/2

N6\'HQH0

(6)

@N/Lv!peE'~0

u(r)=

-F i+~,v*uDC(O0
{P(D-2r)(D-4rcr+2r)/(16μ0)0.5D≥r>rcr

(7)

.I a5b%{jJ0
P(D-2rcr)2/(16μ0)

rcr≥r≥0

|r~6_&},{1M.q0

rcr水利论文4]gLn.Ml l

{0.5Dτ0/τw=2τ0/P P≥4τ0/D

(8)

x?2y }a&`6s`0
0.5DP<4τ0/D

Hd C*@cvD0

(9)水利论文E"Kcl&xM#v1@)Yz

这就是著名的Buckingham方程[2],其中rcr是流核半径,它们的无量纲形式分别为

h5HmD.{_ol5P,|bG0

O0IoH+q4O0
{τ0/τw=[τw]-1=4/[P][P]³4

(10)水利论文 e oOp? I k

1[P]<4

%z_{ }h5I_T[0

(11)

V8R:KlgM0s0
以上采用流体力学方法给出了函数ψ([P])和ζ([P],[μ0])的具体形式,即式(11)的右边。图1(a)给出了轴对称管流的([μ0[U])~[P]曲线。

Kl8}YcJ-NbO0  无量纲方法不是唯一的,例如,人们也可选μ0、ρ和τ0作为基本量,它们的值分别作为粘性系数、密度和应力的单位,则时间、长度、速度、加速度和压强梯度的单位分别为(μ0τ-10)、(μ0ρ-1/2τ-1/20)、(ρ-1/2τ1/20)、(μ-10ρ-1/2τ3/20)和(μ-10ρ1/2τ3/20),无量纲的流Q*量、平均速度U*、压强梯度P*、壁面摩阻τ*w、管径D*、流核半径r*cr和Reynolds数Re分别定义为

B @AD6I%e[v[D9}0

图1 轴对称管流中无量纲平均流速 压降曲线
k U OMe0Fig.1 Relationship between the averaged dimensionless velocity and pressure drop in an axisymmetric pipe flow水利论文CW3Y+_8L

!`@G @&as0

O;r Mn`Cv"|0

(12)

XH(B-Js:OyB0

水利论文zIDr!Rd7@

e#kqf6[0

(13)

;HWL(y}5[,vt0

水利论文 ]uf`+d{G,B

(14)

U0^0zd7o7?0

水利论文ZuH?-][

(15)

2e,a o+|1z+f0

这时Buckingham方程(9)的无量纲形式为(参见图1(b))

b`D G!yV%m*{0

水利论文"u)g:ZQ$X0yy)_-D

    D*P*4

(16)水利论文S+@4R6G#t5ku

    D*P*<4

许多文献中引入如下定义的Hedstzom数He和阻力系数f

{%]@F#Y}zs'[0

He=D2τ0r02,f=2τw/rU2水利论文4m+r'Iz JL i:Fx

(17)水利论文p H3\iq7dXq

并将Buckingham方程(9)写成如下的无量纲形式[2,3]水利论文/_w!o^ bzv

水利论文$`xY,D^3b,?A[

(18)

,D s/^7r_+e0

采用这个公式,由负压梯度P(=4τw/D)求平均流速U时很不方便,因为在f和Re中都有未知量U。为便于求解,有些作者提出忽略式(18)中的高次项,其实完全没必要[24]。本来公式(9)并不复杂,写成(18)那样的无量纲公式是把简单的问题搞复杂了。水利论文 q?` V*vSWI| v:R%_

  引入式(11)和(16)那样的无量纲公式是有意义的,它把公式(1)中涉及很多参量的U与P之间的函数ξ,简化为只依赖单参量的[U]与[P](或者U*与P*)之间的函数ψ。这样简化以后就很容易制成图或表,以备查阅。

L;Mj/Q a+w&~M3T0

  在引入无量纲量时应注意,不宜选未知量作为基本量,因为它会使许多无量纲量都成为未知量,不利于求解。

/A7@HO#amnX~O0

2.2 定常、二维管流水利论文5v4F U:]I:a9Q;Z

对于管高为2h的定常、二维、充分发展的管流,用类似的方法可得到如下各式水利论文m }6jKj)l W:gA

Q=2hU=2xa(P,h,r00)水利论文hF-\$| }2Ot

(1)a

2τw=2hP,τw=hP

C5O y1HpS G*s0

(2)a水利论文"_T[$b7zJ7tz

τzx/z+P=0

l`^)o_ x0
(5)a

τ00uu/|z|≥1-τzx(z)|=|z|P水利论文7J)J n I8x`[-q

(6)a

%T)cg3ro w u/Ke&f$Lq0

u(z)=

Xdz2ip'S&WM0

{

g(q+~ {T K:?`0
P(h-|z|)(h-2zcr+|z|)(2μ0)h≥|z|>zcr

(7)a水利论文4c bUZ%_dl;h}a

P(h-zcr)2/(2μ0)zcr≥|z|≥0

zcr

h/B4M!nC-GP0
{0/τw=τ0/PP≥τ0/h

(8)a

_*o M*F3k [7Q0
hP<τ0/h

二维的Buckingham方程为[2]水利论文6Q~!Ks ^

水利论文VWHD Z

(9)a水利论文HO.h't'm

以2h、ρ和τ0为基本量,各无量纲量的定义和无量纲的Buckingham方程分别为

]K2h.MFM'rX0

o"n{;f0Xy-S,rbW0

(3)a

#[qH&X ZX#Pp0

水利论文+L)O-N@|

(4)a

,zm"a&cBI\]n%utg0

5S2wh5W ni0
[P]≥2

(10)a

O%snR{hn!OE%B0
[P]<2

e{/f+^$Bv cIX,m8U0
[P]≥2

(11)a

Vk+v(G%NsH0
[P]<2

如以μ0、ρ和τ0作为基本量,各无量纲量的定义和无量纲的Buckingham方程分别为

eu(nZZzan0

A1Zw7Q+mpv H0

(12)a水利论文/^4X/G&X d } m

水利论文K?i&KSw1G

(13)a水利论文hT-e6@(yO8md

水利论文^y8E.F2Wi
图2 二维管流(或明渠流)中无量纲流速 压强(或水深)曲线
&s ^\7EfyY3rq0Fig.2 Relationship between the dimensionless velocity and pressure drop (or depth) in a 2-D pipe flow(or channel flow)

b0@`(I5Q4j X0

水利论文B:o~g Y3d

h*P*≥1

(14)a水利论文A!Xb;x`}ux1W

h*P*<1

lnn4V;y:_Y0

(15)a水利论文wfa:^,A@h

#?wF_pR.^0
h*P*≥1

(16)a

p8j n3bMU}&qWs0
h*P*<1

用式(11)a和(16)a计算的结果分别示于图2。水利论文Nj,D4F#wpTO ~

  如引入下面(17)a定义的He和f,则无量纲的Buckingham方程如式(18)a所示水利论文7lSqV$wi3k

i})[w m$A!WV Z0

(17)a水利论文)B ru&sa fc Hh[

水利论文$j zC$DiIO

(18)a水利论文-K$eQ#Qe9_/ju};Kz

2.3 定常二维充分发展的明渠流

*o-x AF"D0

  定常、二维、充分发展的明渠流的流速分布与定常、二维管流的下半部流动完全一样,但是,这时的驱动力P是重力的流向分力,P=ρgsin。依照通常习惯,在二维明渠流研究中,z=0平面位于床面,因此,只要在式(1)a、(6)a、(7)a和(9)a中用(h-z)代替|z|,用τzx代替|-τzx|,用2Q代替Q,就能得到定常二维充分发展的明渠流相应的公式,式(2)a、(5)a和(8)a完全不用改变。

-DV$C;wh5C'A0

;RK@G ou"[0

(1)b

3b qAg:\CdF"a0

2]%[,c[0R0

(6)b

SDg sY6]I.C0

0Y.d[;}D0

(7)b水利论文tC O'Y)Q7_~2U

M-H.v9dS9E1t$nNp0

(9)a水利论文7L Xo(DiO3f'@

4fO:P QTHd0若以h、ρ和τ0为基本量引入无量纲量[U],[P],[μ0],[rcr]等,则只要用2[P]代替[P]、用0.5[μ0]代替[μ0]、用[zcr]代替[2zcr],二维定常管流的无量纲式(10)a和(11)a就转换为明渠流各式了,包括图2(a)水利论文 BZs3]}8b,P

水利论文Q4^6{;Nq/]$b%`B vA

(10)a

c Woup nC0

:Q-Nm;F]7`]0
[P]≥1

(11)a水利论文FUJ+Xm#miUB-I

[P]<1
水利论文e/c6ag\O:L

但在明渠流问题中,水深h常是未知的,用它作基本量得到的结果不便于使用。如以μ0、ρ和τ0作为基本量引入无量纲量U*,P*,h*,r*cr等,则各无量纲量的定义和无量纲的Buckingham方程(13)a~(16)a仍基本上适用,包括图2(b),只是Reynolds数的定义和Q*~U*关系需改为

\ P:id-E]r#\0

水利论文wc P8k&Z bO#v D$E8^

(15)b

  在明渠流问题中,采用P/ρ(=gsin)、ρ和τ0作基本量可能更方便,它们分别是加速度、密度和应力的单位,则时间、长度、速度和粘度的单位分别为[ρ-1/2τ1/20(gsin)-1]、[ρ-1τ0(gsin)-1]、[ρ-1/2τ1/20]和[ρ-1/2τ3/20(gsin)-1],无量纲的平均流速〈U〉、水深〈h〉、粘度〈μ0〉分别定义为水利论文'j7lL-w:a-g/}3o.N&c

水利论文(c6k(g5So/w7\ crP

(19)

*qT5l/{+J3}aKm0

Vu ~?o)F8w0
{<h>=hrsinq/τ0≥1

(20)水利论文t R:B;L%X&?\

<h><h>=hrsinq/τ0<1
这时Buckingham方程可表示为(见图3)
    
(21)

  如引入如下定义的Hedstzom数He和阻力系数f,则相应的Buckingham方程如式(18)b所示

Fr!Mp&M@Q,|0tb0

 

X W.^&ZB"j_0
(17)a

 水利论文 n aM:To'm/a L

(18)a


`+N/b9k X0
(ol | f*\z0图3 明渠流中无量纲流速-水深曲线
D;{ Q} TRm0Fig.3 Relationship between the dimensionless velocity and depth in a open channel flow

kQ9o}E/Z,y:A#^0

不论由流速求水深,还是由水深求流速,这个方程都不方便,因为水深h和流速U在He,Re和f三个变量中,都至少出现两处。

2o'GYdb"r.v[j0

3 二维、充分发展的阵性流水利论文J2y6? Qu

  粘性泥石流运动多呈阵性,这可能与Bingham体连续流的运动不稳定性有关[5]。阵性泥石流在干床上运动时,由于它在运动后都会留下一定厚度的残留层(能长时间保持不动),因而运动的介质会越来越少,这就是所谓的“铺床过程”。对于一定的介质,在一定坡度(tanθ)的二维渠道内,残留层厚度不可能超过临界值zcr(=τ0/ρgsinθ)。我们的数值计算表明(另文发表),泥石流通过后留下的残留层一般也不小于临界值,基本上等于临界厚度zcr。所以,一定量的泥石流体在已铺过床的渠道内运动时(假设原残留层内的介质与运动的介质相同),流体总量基本上不变。这样,如果渠道的几何条件沿程不变,那么泥石流体的运动速度和形态最终将趋于稳定,这就是充分发展的阵性流。如果有一个跟随阵性流一起运动的坐标系,并在该坐标系内考察运动,那么充分发展的阵性流的运动是定常的。

.ul*Y3~%d&\0

  由定性分析可知,充分发展的阵性流的运动速度U依赖于介质密度ρ、屈服应力τ0、粘性系数μ0、运动介质的(单宽)总量Q、重力加速度g和倾角,即水利论文4J-o2e~2_r

U=F(ρ,τ00,Q,g,θ)水利论文5|d,}8BI0E;Y-^

(22)水利论文.[2H!HdZJ

如选ρ、τ0和g作为基本量,它们的值分别作为密度、应力和加速度的单位,则时间、长度、速度和粘性系数的单位分别为(ρ-1/2τ1/20g-1)、(ρ-1τ0g-1)、(ρ-1/2τ1/20)和(ρ-1/2τ3/20g-1),无量纲的阵性流速度〈U〉、运动介质总量〈Q〉、粘性系数〈μ0〉和残留层临界厚度〈zcr〉分别定义为水利论文R2A^CD

水利论文(FCLf|2te"O

(23)水利论文*[)u`vi7|0BS

对于阵性流,可采用如下定义的Reynolds数水利论文 i#KC9d6_f't_K(n{

)Rt%r*{*n`6?c0

(24)

,k1C]q9Xx8c0

这时式(22)可简化为[1]

,At-tqxf*s0

〈U〉=F(1,1,μ*0,Q*,1,θ)=Φ(μ*0,Q*)

s3y_;|$a,rRL0

(25)

L5F)zj0f1_2U@gQ0

函数Φ的具体形式需通过求解流体力学方程得到。水利论文]c*hZy Me,N p0L

  在实验室坐标系中,非定常、二维、不可压缩流体(无量纲化的)运动方程为(为书写方便,在本段落中略去了表示无量纲的符号〈〉)水利论文 pI4y3s1pn7c7k

水利论文iK A)CS!Cp"M

(26)

水利论文g4Z_#N6U*rx,S

(27)

水利论文]+p0_TQa"oo

(28)

Bingham体的应力本构关系为[6]

$jj:Us G4nO0

)heF9yfM0

(29)

Sf6rt0X0

其中,应变率eij=0.5(ui/xj+uj/xi),q=(2eijeji)1/2。由于边界条件都是齐次的,不涉及任何特征量,在此从略;在初始条件中,对充分发展运动状态有影响的仅仅是运动介质的总量〈Q〉,故也不在此详细列出。

;`%h&wL)X9Lj0

  与前面研究过的几种连续流不同,阵性流中某些区域(例如龙头区)有显著的垂向(z向)运动,因而垂向动量方程(28)不能略去。由于垂向动量方程中有因子cosθ,所以,即使在<Q>和<μ0>的定义式(23)2和(23)3中采用gsinθ代替g,方程组(26)~(29)中仍然包含无量纲量,不能减少独立无量纲参数的数目。也就是说,在无量纲函数Φ中,除在变量<μ0>和<Q>中含有因子sinθ外,θ还可能以其它方式影响函数Φ。所以,我们宁愿采用式(23)定义的<μ0>和<Q>,Φ一般说来是<μ0>、<Q>和三个无量纲变量的函数。虽然还可以采用其它的无量纲量,如Reynolds数Re,Hedstzom数He和阻力系数f等,但是,我们推荐采用<μ0>、<Q>和θ,因为它们分别代表了介质物性,阵性流总量和渠道的几何,都有简明的物理或几何意义。例如,在<μ0>的定义中,除不变的常量g以外,都是与介质物理性质有关的量,即密度ρ、屈服应力τ0和粘度μ0。此外,在这些无量纲量的定义中涉及的都是已知量,不包含像运动速度U和龙头高度等未知量,使用比较方便。水利论文h`a*ox Z D+LT L W

4 结论

zQx%]cX^0

  (1)不论是轴对称管流、二维管流、还是明渠流,都可用Buckingham方程(轴对称管流的(9),二维管流的(9)a和明渠流的(9)b)计算平均流速U。有多种方法可将Buckingham方程变成无量纲形式,例如轴对称流的式(11)、(16)和(18),或二维流动的式(11)a、(16)a和(18)a,或明渠流的式(11)b、(16)a、(21)和(18)b,使原来有六个变量的关系变成只涉及三个变量之间的关系,便于制成图表。但是,这些无量纲关系使用的方便程度有很大差别,例如,式(18)、(18)a和(18)b中有两个变量涉及未知量U,(18)b中有两个变量涉及水深h,因而不便于使用。水利论文e&d^m%I@

  无量纲化时,一般不选未知量作基本量。在管流研究中,由于管子的特征长度(管径D或管高2h)通常已知,所以,可选D(或2h)、ρ和τ0作为基本量。水利论文\v0I;XniPd%NH

  (2)二维明渠中的连续流与二维管流的下半部流动基本上一致。由于明渠流中的水深h常常是未知的,所以,无量纲化时,可选gsin、ρ和τ0作为基本量。水利论文_zj5}-\I

(3)对于二维明渠的阵性流,可选g、ρ和τ0为基本量,这时,无量纲速度〈U〉依赖于<μ0>、<Q>θ和三个无量纲变量,其中,<μ0>代表了运动介质物性,<Q>代表了阵性流总量,而θ则反映渠道的几何特性,都有简明的物理或几何意义。水利论文d_ZI5[/@ |d)XP`2V

参考文献

9f'xU.aY,p8KC D5S+W?0

[1]谢多夫(Седов, Л。И。).力学中的相似方法与量纲理论。科学出版社,1982(沈青等译)。

~.pS H#K3@8Z'N0

[2] 钱宁.高含沙水流运动.清华大学出版社,1989,第112-113页。水利论文@+{|+f4D2?/W3P

[3] Chen,C.L.,Generalized viscoplastic modeling of debris flow, J.Hydraulic Engineering, ASCE. 114,pp.237-258.水利论文.b+l MTn

[4] Shamber, D.R.& MacArthur, R.C., One-dimensional model for mudflows, Hydraulics and Hydrology in the Small Computer Age,ASCE.Vol 2, pp.1334-1339.

f6V UQT%P8^0

[5]王兆印,林秉南,张新玉。非牛顿体的不稳定流研究.力学学报,22(3),1991.水利论文8[?nG(fJzK/G

[6] 陈文芳.非牛顿流体力学.科学出版社,1984.水利论文fju-XCA d5X

TAG: 余斌 段新平 章书成 Bingham 无量纲
顶:16 踩:19
【已经有95人表态】
31票
极差
9票
很差
6票
较差
14票
稍差
9票
稍好
8票
较好
8票
很好
10票
极好
下一篇:长江中下游鹅头型汊道演变规律的分析(马有国,高幼华)
上一篇:中国河口最大浑浊带刍议(沈焕庭,贺松林,茅志昌,李九发)
查看全部回复【已有0位网友发表了看法】

广告投放

广告投放