Bingham体的连续流和阵性流研究中无量纲参数讨论(刘大有,段新平,章书成,余斌)

热度57票 浏览74次 【共0条评论】【我要评论 时间:2001年1月01日 19:17

Bingham体的连续流和阵性流研究无量纲参数讨论

r a1T!t*u!N G0

刘大有1段新平1章书成2余斌2
6F&Zx\ed0T*a0(1.中国科学院 力学研究所,2. 中国科学院 成都山地灾害与环境研究所

ds#j.|E@S'T:L!~0

摘要:本文首先对轴对称管流、二维管流和明渠连续流研究中无量纲参数的选择进行评述,通过对这些有分析解的流动的讨论,说明采用无量纲表达式的优点、无量纲方法的多样性,以及适当选择基本量的重要性。最后讨论了Bingham体阵性流研究中基本量的合理选择。

(N7gLQ4vl7B1Qo0

关键词:无量纲参数;Bingham体;连续流;阵性流

B8Ui&m S7}^g!E0

基金项目国家自然科学基金(49771003)和中国科学院“特别支持领域 山地灾害 泥石流与滑坡”的资助。水利论文 ]}$@8VOiiD

作者简介:刘大有(1939-),男,中科院力学所研究员。

3pCw!gQ{|ImK2D0

1 引言

'm_y:M0J y8C n0

  高含沙水流、泥石流中的浆体、工业中的水煤浆和其它许多化工原料的流变性质,都接近于Bingham体,它们都有显著的屈服应力τ0和较大的粘度μ0(又称刚度系数η)。水利论文:E#AU)^3L;t

  近年来,人们针对一些典型流型(如二维明渠流动、二维管流和轴对称管流等)对Bingham体的阻力已有很多研究,还引入了各种无量纲参数进行讨论,例如,Reynolds数Re、Hedstrom数He和阻力系数f等。根据实际的重要性,人们主要研究层流运动,但也有一些论文讨论了Bingham体的紊流阻力。水利论文#]"\? uD|'~&K

  本文在一些典型连续流阻力研究的基础上,对无量纲参数的选择进行了讨论,并在此基础上研究了Bingham体阵性流的无量纲表示和独立无量纲量的个数。水利论文(g M_&uM4Z {

基于以下几点考虑,本文不讨论Bingham体的紊流运动。

2~Ja's5n0

  1. Bingham体与牛顿体的差异仅在于是否存在屈服应力。如果流场中平均应力水平较高,远大于屈服应力,那么屈服应力的存在与否对流动的影响就比较小,就可以用牛顿体代替。事实上,许多介质也并非理想的Bingham体,当平均应力水平较高时,Bingham体近似未必比牛顿体近似更优越。当流动进入紊流区时,应力水平往往已很高,失去了当作Bingham体研究的必要性;水利论文2p&G\bK1mg

  2. 当流动进入紊流区时,总有一定强度的紊流脉动,而Bingham体运动的重要特征是有流核存在。当有紊流脉动时是否还有流核?流核中是否有紊流脉动?流核如何影响紊流脉动?都是远没有研究清楚的问题;

$mv0T]j%w U0

  3. 高粘度介质在较高速度下运动时,有很大的机械能损失,它需要很大的功率输入,同时产生大量的热,这些热会显著改变介质的流变性质。水利论文`0F f\"k N`0Pg

2 几种定常连续流的流速与阻力

&l,@ ~k.My%y0

2.1 定常、轴对称管流

SA6ib;zC0

  下面先用量纲理论对定常(/t=0)、轴对称(/φ=0,分速度w=0)、充分发展的管流(/x=0)进行分析。根据定性分析可知:流量和平均速度U依赖于负压梯度(-p/x,以下简写为P)、管径D、介质密度ρ、屈服应力τ0和粘性系数μ0对长度为Δx的一段管子所作的力平衡分析可得到壁面摩阻τw的表达式

3e;MPa0GU0
(1)
πDτw=πD2P/4, τw=DP/4(2)

如选D、ρ和τ0作为基本量,它们的值分别作为长度、密度和应力的单位(基本量度单位),则时间、速度、加速度、粘性系数和压强梯度的单位分别为(Dρ1/2τ-1/20)、(ρ-1/2τ1/20)、(D-1ρ-1τ0)、(Dρ1/2τ1/20)和(D-1τ0),无量纲的流量[Q]、平均速度[U]、负压梯度[P]、壁面摩阻[τw]和粘性系数[μ0]分别定义为这时,式(1)可表示为[1]水利论文)^F$AA's

3b'R,y4C?h&[:M1o1o4CP0
(3)

水利论文4y-O8i5F1d$A

(4)

量纲分析可以将依赖于五个参数的函数ξ简化为依赖于两个无量纲量的函数ζ,但是,它给不出该函数的具体形式。量纲分析方法是通用的,它能有效地减少未知函数中独立参数的个数,而未知函数具体形式的寻找,则只能具体问题具体分析了。可以利用该问题的相关理论进行分析求解,也可采用经验的方法。例如,对于牛顿流体,如果人们已知,流量与粘性系数成反比、与负压梯度成正比,就可显著简化该函数:ζ([P],[μ0])=C[P]/[μ0],其中C是一待定常数。对于Bingham体,虽然流量与负压梯度不再成正比,但仍与粘性系数成反比,所以函数ζ仍可得到适度地简化:ζ=ψ(P)/[μ0],其中ψ是一未知的单变量函数,它仍要用实验方法或理论方法来确定。但是它比确定双变量函数ζ简单得多。下面采用流体力学方法求解函数ψ(或者说ζ)。

QPh;Hx8A/Y6X5Yx0

  对于定常、轴对称管流,轴向(x方向)动量方程可简化为(τrx为粘性应力)水利论文4p7v!\/}&A

r-1(rτrx)/r+P=0

8`|^g6e7Y+cZi0

(5)水利论文K3q:w-D!o+ck9` y

解方程得到水利论文uMJ!nQw

τ00u/r≥-τrx(r)=rP/2水利论文~ Spq:f0Xl

(6)水利论文Z\5s@T%sD

u(r)=

+l'N;N5e5Y0
{P(D-2r)(D-4rcr+2r)/(16μ0)0.5D≥r>rcr

(7)

b W4o/Nz0
P(D-2rcr)2/(16μ0)

rcr≥r≥0

Y%p {;f"WNH0

rcr水利论文/kj"@6S_"dQPsTs

{0.5Dτ0/τw=2τ0/P P≥4τ0/D

(8)

'u-V&ck5_K1u0
0.5DP<4τ0/D

水利论文M,h|ZC%bw B

(9)水利论文 j3id'u?gE

这就是著名的Buckingham方程[2],其中rcr是流核半径,它们的无量纲形式分别为

BPB)M8g U8Ny0

$V+s*aQ|&S0
{τ0/τw=[τw]-1=4/[P][P]³4

(10)

mA;nB3S9b0
1[P]<4

水利论文@#X-f,r"XHfm

(11)

?)AL8Lp6T mj0
以上采用流体力学方法给出了函数ψ([P])和ζ([P],[μ0])的具体形式,即式(11)的右边。图1(a)给出了轴对称管流的([μ0[U])~[P]曲线。

8p!{!IB8|4r0  无量纲方法不是唯一的,例如,人们也可选μ0、ρ和τ0作为基本量,它们的值分别作为粘性系数、密度和应力的单位,则时间、长度、速度、加速度和压强梯度的单位分别为(μ0τ-10)、(μ0ρ-1/2τ-1/20)、(ρ-1/2τ1/20)、(μ-10ρ-1/2τ3/20)和(μ-10ρ1/2τ3/20),无量纲的流Q*量、平均速度U*、压强梯度P*、壁面摩阻τ*w、管径D*、流核半径r*cr和Reynolds数Re分别定义为水利论文%C:x[F]+gWm0Az

图1 轴对称管流中无量纲平均流速 压降曲线水利论文gJ%BcjC"Ug
Fig.1 Relationship between the averaged dimensionless velocity and pressure drop in an axisymmetric pipe flow水利论文9r*iMK-K

.uzj;m9R@0[8[Y%K0

ik)F r0K~*hV]0

(12)水利论文``Pn {

)yUp8Q.G(cQ0

z%Pn%|0d0

(13)

aU$P@z$QI Hjj0

7v%Ll2ABY0

(14)水利论文'i.doh @k\c

v"xR.bvjSs0

(15)

[8j3}4_PD*mdI0

这时Buckingham方程(9)的无量纲形式为(参见图1(b))水利论文E9H|T3vK"Y

水利论文pT2GS]D+sm:dRW v

    D*P*4

(16)

Qk7i}P2Q"u0
    D*P*<4

许多文献中引入如下定义的Hedstzom数He和阻力系数f

gthk9[[0

He=D2τ0r02,f=2τw/rU2水利论文KD4}Qq4Zn$]

(17)

`1P8WZO Xl9TT C(v0

并将Buckingham方程(9)写成如下的无量纲形式[2,3]水利论文 h%aq Op)St j QT

5O8aZzGY6DY-H0

(18)水利论文,bUi L"bNYs B's

采用这个公式,由负压梯度P(=4τw/D)求平均流速U时很不方便,因为在f和Re中都有未知量U。为便于求解,有些作者提出忽略式(18)中的高次项,其实完全没必要[24]。本来公式(9)并不复杂,写成(18)那样的无量纲公式是把简单的问题搞复杂了。水利论文 `:ll uxY*{

  引入式(11)和(16)那样的无量纲公式是有意义的,它把公式(1)中涉及很多参量的U与P之间的函数ξ,简化为只依赖单参量的[U]与[P](或者U*与P*)之间的函数ψ。这样简化以后就很容易制成图或表,以备查阅。水利论文_/BFTOj x

  在引入无量纲量时应注意,不宜选未知量作为基本量,因为它会使许多无量纲量都成为未知量,不利于求解。水利论文"Jci:k G"C

2.2 定常、二维管流

yhc)[TM!H0

对于管高为2h的定常、二维、充分发展的管流,用类似的方法可得到如下各式

t @!^(zGA0

Q=2hU=2xa(P,h,r00)

3j!O"Y/h8f R$i9j @)~0
(1)a

2τw=2hP,τw=hP

2D4}7e OB0

(2)a

0u@c&^KD `){%y0

τzx/z+P=0水利论文*@8e4r{1}.wuq

(5)a

τ00uu/|z|≥1-τzx(z)|=|z|P水利论文K,V Mx4jAMF0Ig;Fq_

(6)a水利论文t f-dpCE

u(z)=

2E4AP/Co i0

{

jG*dfG$J"|0
P(h-|z|)(h-2zcr+|z|)(2μ0)h≥|z|>zcr

(7)a

H([7A$iq"s0
P(h-zcr)2/(2μ0)zcr≥|z|≥0

zcr水利论文7{;a#coZt

{0/τw=τ0/PP≥τ0/h

(8)a

R#Sco Z6q jR0
hP<τ0/h

二维的Buckingham方程为[2]水利论文8L#?a$py s'Ymd.p|*}

水利论文]$}9WZ-|4E3pY

(9)a水利论文CP$Ky'Z#hY#[(`

以2h、ρ和τ0为基本量,各无量纲量的定义和无量纲的Buckingham方程分别为水利论文$OZjK'y7v

#z!vI0i!{(O.e5g&Q6iC0

(3)a

^1J~1AxF0mMr9IX0

水利论文7dAqI R \'UF

(4)a水利论文R:BC*h4R

水利论文;NG6jKf_9Y

[P]≥2

(10)a

[pqgv?0
[P]<2

8~*@\rfBTx%t;t0
[P]≥2

(11)a

i n+ERs}6jh E0
[P]<2

如以μ0、ρ和τ0作为基本量,各无量纲量的定义和无量纲的Buckingham方程分别为水利论文5voomLb

1qdEN \1b^aPL0

(12)a

[A.]QU dy0

4K*e%Us$aH3U:x [Ep0

(13)a

"k Q$L^5y3}:o0f1j0


#x(L\\ V"W'Y3`0图2 二维管流(或明渠流)中无量纲流速 压强(或水深)曲线水利论文e b~r.W5G&Wf?A7O
Fig.2 Relationship between the dimensionless velocity and pressure drop (or depth) in a 2-D pipe flow(or channel flow)
水利论文)O5qY^J:L

`[7h0c-y2wy0
h*P*≥1

(14)a

6v3@1Z3e)K/qQ\Z3Dw l0
h*P*<1

水利论文+ZLE.l O)O9K!d

(15)a水利论文g L#^:Q8A&B

水利论文J FM0i#M]Tfp2G.D[

h*P*≥1

(16)a

;T:rB,oM^WV7G0
h*P*<1

用式(11)a和(16)a计算的结果分别示于图2。

+S'X ~'^c0

  如引入下面(17)a定义的He和f,则无量纲的Buckingham方程如式(18)a所示水利论文4h)Xyt/Ii,T]

6\X!E{.xb{0

(17)a水利论文Fi$Be3CE2G g,M

水利论文Q.sbJN5g*oH4~f

(18)a水利论文mF3wxV+rc }!V;wI

2.3 定常二维充分发展的明渠流

1y"aE ~5_J0

  定常、二维、充分发展的明渠流的流速分布与定常、二维管流的下半部流动完全一样,但是,这时的驱动力P是重力的流向分力,P=ρgsin。依照通常习惯,在二维明渠流研究中,z=0平面位于床面,因此,只要在式(1)a、(6)a、(7)a和(9)a中用(h-z)代替|z|,用τzx代替|-τzx|,用2Q代替Q,就能得到定常二维充分发展的明渠流相应的公式,式(2)a、(5)a和(8)a完全不用改变。

v QH"`[Q$]0

水利论文a+Fp8edN@/q2Ot

(1)b

(n"b g `1rM'X0

1GN7s L2]*y3o$j0

(6)b

*Y1yF({VOF]0

水利论文qmw$X+e ]PZ

(7)b水利论文5h1f`kv2m1f NXK2?s

@8x ^g9h1T1Q)^0

(9)a

J5m`^|!m"EU0

;H c[iX5^"S4MK0若以h、ρ和τ0为基本量引入无量纲量[U],[P],[μ0],[rcr]等,则只要用2[P]代替[P]、用0.5[μ0]代替[μ0]、用[zcr]代替[2zcr],二维定常管流的无量纲式(10)a和(11)a就转换为明渠流各式了,包括图2(a)水利论文dafc0R!}l

Z3~0e iT*l9v!xZ0

(10)a

qe dMyq0

水利论文8s,r Z@$z

[P]≥1

(11)a

uixCB q6o0
[P]<1

1s| _t6s;E9Q;}f0但在明渠流问题中,水深h常是未知的,用它作基本量得到的结果不便于使用。如以μ0、ρ和τ0作为基本量引入无量纲量U*,P*,h*,r*cr等,则各无量纲量的定义和无量纲的Buckingham方程(13)a~(16)a仍基本上适用,包括图2(b),只是Reynolds数的定义和Q*~U*关系需改为水利论文(zB,z HYhjs

#TQK/BJ o5YU0
(15)b

  在明渠流问题中,采用P/ρ(=gsin)、ρ和τ0作基本量可能更方便,它们分别是加速度、密度和应力的单位,则时间、长度、速度和粘度的单位分别为[ρ-1/2τ1/20(gsin)-1]、[ρ-1τ0(gsin)-1]、[ρ-1/2τ1/20]和[ρ-1/2τ3/20(gsin)-1],无量纲的平均流速〈U〉、水深〈h〉、粘度〈μ0〉分别定义为

%G-RGKr0

水利论文S`e'H5VG'X

(19)

$Zc'T{t0

4b;qp`b0
{<h>=hrsinq/τ0≥1

(20)水利论文 bs1UJ+Z9Y W

<h><h>=hrsinq/τ0<1
这时Buckingham方程可表示为(见图3)
    
(21)

  如引入如下定义的Hedstzom数He和阻力系数f,则相应的Buckingham方程如式(18)b所示

gF!J#^O&if4}O0

 

Z-P IrN/OG:I0
(17)a

 

B8fC:HNPOB$W0
(18)a


:u!N ^ W:z\:s5M2K3I WA0水利论文-j.]~6z:a9XW ?3u k0C,js%|
图3 明渠流中无量纲流速-水深曲线
~(a+{5qD7eRm8vf,Y0Fig.3 Relationship between the dimensionless velocity and depth in a open channel flow水利论文!W5oT;tx0MeH&X

不论由流速求水深,还是由水深求流速,这个方程都不方便,因为水深h和流速U在He,Re和f三个变量中,都至少出现两处。

lZ3~-hA @0

3 二维、充分发展的阵性流水利论文6[ss't JT

  粘性泥石流运动多呈阵性,这可能与Bingham体连续流的运动不稳定性有关[5]。阵性泥石流在干床上运动时,由于它在运动后都会留下一定厚度的残留层(能长时间保持不动),因而运动的介质会越来越少,这就是所谓的“铺床过程”。对于一定的介质,在一定坡度(tanθ)的二维渠道内,残留层厚度不可能超过临界值zcr(=τ0/ρgsinθ)。我们的数值计算表明(另文发表),泥石流通过后留下的残留层一般也不小于临界值,基本上等于临界厚度zcr。所以,一定量的泥石流体在已铺过床的渠道内运动时(假设原残留层内的介质与运动的介质相同),流体总量基本上不变。这样,如果渠道的几何条件沿程不变,那么泥石流体的运动速度和形态最终将趋于稳定,这就是充分发展的阵性流。如果有一个跟随阵性流一起运动的坐标系,并在该坐标系内考察运动,那么充分发展的阵性流的运动是定常的。水利论文+o q|]d&},rG

  由定性分析可知,充分发展的阵性流的运动速度U依赖于介质密度ρ、屈服应力τ0、粘性系数μ0、运动介质的(单宽)总量Q、重力加速度g和倾角,即水利论文4Y9F`Jb5I:V tAd

U=F(ρ,τ00,Q,g,θ)水利论文K$ATQ:B;x$k8l

(22)水利论文g&i.V0[D(k7^c-_

如选ρ、τ0和g作为基本量,它们的值分别作为密度、应力和加速度的单位,则时间、长度、速度和粘性系数的单位分别为(ρ-1/2τ1/20g-1)、(ρ-1τ0g-1)、(ρ-1/2τ1/20)和(ρ-1/2τ3/20g-1),无量纲的阵性流速度〈U〉、运动介质总量〈Q〉、粘性系数〈μ0〉和残留层临界厚度〈zcr〉分别定义为

5H \%oq7]8?Z']x0

3e:{GskP~/~0

(23)水利论文;Q#|`2C7xXk Mej3l

对于阵性流,可采用如下定义的Reynolds数

Uu6n EY.g-cdI![0

水利论文;l^7D2T$tu

(24)水利论文PyY2GuS

这时式(22)可简化为[1]

FB(|d]L+M0

〈U〉=F(1,1,μ*0,Q*,1,θ)=Φ(μ*0,Q*)

hMX c,A;O,u4~ v3a0

(25)水利论文m`-} dM @;@ ]1r5]

函数Φ的具体形式需通过求解流体力学方程得到。

8u+T,@3kq1]hXtQ0

  在实验室坐标系中,非定常、二维、不可压缩流体(无量纲化的)运动方程为(为书写方便,在本段落中略去了表示无量纲的符号〈〉)

2Q-tq"ra3Ep0

X3I[:_6M0
(26)

水利论文%l4\Q5L N9ZpdiqU

(27)

0Y0Jh N(xf)uUba1O0
(28)

Bingham体的应力本构关系为[6]

/b }Pp+Xk q `V5\0

水利论文!z!v VvG iK

(29)

xZNvMGtR;y0

其中,应变率eij=0.5(ui/xj+uj/xi),q=(2eijeji)1/2。由于边界条件都是齐次的,不涉及任何特征量,在此从略;在初始条件中,对充分发展运动状态有影响的仅仅是运动介质的总量〈Q〉,故也不在此详细列出。水利论文Sa2I'R#P

  与前面研究过的几种连续流不同,阵性流中某些区域(例如龙头区)有显著的垂向(z向)运动,因而垂向动量方程(28)不能略去。由于垂向动量方程中有因子cosθ,所以,即使在<Q>和<μ0>的定义式(23)2和(23)3中采用gsinθ代替g,方程组(26)~(29)中仍然包含无量纲量,不能减少独立无量纲参数的数目。也就是说,在无量纲函数Φ中,除在变量<μ0>和<Q>中含有因子sinθ外,θ还可能以其它方式影响函数Φ。所以,我们宁愿采用式(23)定义的<μ0>和<Q>,Φ一般说来是<μ0>、<Q>和三个无量纲变量的函数。虽然还可以采用其它的无量纲量,如Reynolds数Re,Hedstzom数He和阻力系数f等,但是,我们推荐采用<μ0>、<Q>和θ,因为它们分别代表了介质物性,阵性流总量和渠道的几何,都有简明的物理或几何意义。例如,在<μ0>的定义中,除不变的常量g以外,都是与介质物理性质有关的量,即密度ρ、屈服应力τ0和粘度μ0。此外,在这些无量纲量的定义中涉及的都是已知量,不包含像运动速度U和龙头高度等未知量,使用比较方便。

UJ4f.^8~1q f8k0

4 结论

d3o$@H s;k*h0

  (1)不论是轴对称管流、二维管流、还是明渠流,都可用Buckingham方程(轴对称管流的(9),二维管流的(9)a和明渠流的(9)b)计算平均流速U。有多种方法可将Buckingham方程变成无量纲形式,例如轴对称流的式(11)、(16)和(18),或二维流动的式(11)a、(16)a和(18)a,或明渠流的式(11)b、(16)a、(21)和(18)b,使原来有六个变量的关系变成只涉及三个变量之间的关系,便于制成图表。但是,这些无量纲关系使用的方便程度有很大差别,例如,式(18)、(18)a和(18)b中有两个变量涉及未知量U,(18)b中有两个变量涉及水深h,因而不便于使用。

W!UZ8q)X6Fx3f0

  无量纲化时,一般不选未知量作基本量。在管流研究中,由于管子的特征长度(管径D或管高2h)通常已知,所以,可选D(或2h)、ρ和τ0作为基本量。

T0@^pB+a\m kJ-e0

  (2)二维明渠中的连续流与二维管流的下半部流动基本上一致。由于明渠流中的水深h常常是未知的,所以,无量纲化时,可选gsin、ρ和τ0作为基本量。

q hc6ZJ%e\t b"JY0

(3)对于二维明渠的阵性流,可选g、ρ和τ0为基本量,这时,无量纲速度〈U〉依赖于<μ0>、<Q>θ和三个无量纲变量,其中,<μ0>代表了运动介质物性,<Q>代表了阵性流总量,而θ则反映渠道的几何特性,都有简明的物理或几何意义。

8{ix-a(B4c!K0

参考文献

'uW9m&YbW{t0

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uQe thz\ Rd0

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T N(ed.XT N P}0

[6] 陈文芳.非牛顿流体力学.科学出版社,1984.

}"q8iG8?8M'p0
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