Bingham体的连续流和阵性流研究中无量纲参数讨论(刘大有,段新平,章书成,余斌)

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Bingham体的连续流和阵性流研究无量纲参数讨论水利论文0of^7x*L

刘大有1段新平1章书成2余斌2
\%Kv GA n N0(1.中国科学院 力学研究所,2. 中国科学院 成都山地灾害与环境研究所
水利论文+cmy7e!G%o

摘要:本文首先对轴对称管流、二维管流和明渠连续流研究中无量纲参数的选择进行评述,通过对这些有分析解的流动的讨论,说明采用无量纲表达式的优点、无量纲方法的多样性,以及适当选择基本量的重要性。最后讨论了Bingham体阵性流研究中基本量的合理选择。

Z5Z7O/Y|Y!k3Ym M1]0

关键词:无量纲参数;Bingham体;连续流;阵性流

0TZ#?!\ XTWZY0

基金项目国家自然科学基金(49771003)和中国科学院“特别支持领域 山地灾害 泥石流与滑坡”的资助。

5PYyR y"_(J_ oS:J0

作者简介:刘大有(1939-),男,中科院力学所研究员。

)Z7d"{aAB0

1 引言水利论文;Pt~!R(W)G(e:qza

  高含沙水流、泥石流中的浆体、工业中的水煤浆和其它许多化工原料的流变性质,都接近于Bingham体,它们都有显著的屈服应力τ0和较大的粘度μ0(又称刚度系数η)。水利论文'Y N \F"DXW{ AIg

  近年来,人们针对一些典型流型(如二维明渠流动、二维管流和轴对称管流等)对Bingham体的阻力已有很多研究,还引入了各种无量纲参数进行讨论,例如,Reynolds数Re、Hedstrom数He和阻力系数f等。根据实际的重要性,人们主要研究层流运动,但也有一些论文讨论了Bingham体的紊流阻力。水利论文 o*t'SnK?1PV

  本文在一些典型连续流阻力研究的基础上,对无量纲参数的选择进行了讨论,并在此基础上研究了Bingham体阵性流的无量纲表示和独立无量纲量的个数。

)x{.et!^#Fy0

基于以下几点考虑,本文不讨论Bingham体的紊流运动。水利论文ezk,k0I,zB2n+r q[

  1. Bingham体与牛顿体的差异仅在于是否存在屈服应力。如果流场中平均应力水平较高,远大于屈服应力,那么屈服应力的存在与否对流动的影响就比较小,就可以用牛顿体代替。事实上,许多介质也并非理想的Bingham体,当平均应力水平较高时,Bingham体近似未必比牛顿体近似更优越。当流动进入紊流区时,应力水平往往已很高,失去了当作Bingham体研究的必要性;

DyEN1m|-jx0

  2. 当流动进入紊流区时,总有一定强度的紊流脉动,而Bingham体运动的重要特征是有流核存在。当有紊流脉动时是否还有流核?流核中是否有紊流脉动?流核如何影响紊流脉动?都是远没有研究清楚的问题;

~0SR6KX6N1^z3?0

  3. 高粘度介质在较高速度下运动时,有很大的机械能损失,它需要很大的功率输入,同时产生大量的热,这些热会显著改变介质的流变性质。

`u;Hn:kP0

2 几种定常连续流的流速与阻力水利论文Y$T&f6D{9x?p

2.1 定常、轴对称管流水利论文4B&R,o c&`+Bzq

  下面先用量纲理论对定常(/t=0)、轴对称(/φ=0,分速度w=0)、充分发展的管流(/x=0)进行分析。根据定性分析可知:流量和平均速度U依赖于负压梯度(-p/x,以下简写为P)、管径D、介质密度ρ、屈服应力τ0和粘性系数μ0对长度为Δx的一段管子所作的力平衡分析可得到壁面摩阻τw的表达式

^5|6Ri'a3N$^]~r0
(1)
πDτw=πD2P/4, τw=DP/4(2)

如选D、ρ和τ0作为基本量,它们的值分别作为长度、密度和应力的单位(基本量度单位),则时间、速度、加速度、粘性系数和压强梯度的单位分别为(Dρ1/2τ-1/20)、(ρ-1/2τ1/20)、(D-1ρ-1τ0)、(Dρ1/2τ1/20)和(D-1τ0),无量纲的流量[Q]、平均速度[U]、负压梯度[P]、壁面摩阻[τw]和粘性系数[μ0]分别定义为这时,式(1)可表示为[1]

cll l0xTf0

水利论文7b1}1p$X'N3f+t8W

(3)

5K0P OQn0
(4)

量纲分析可以将依赖于五个参数的函数ξ简化为依赖于两个无量纲量的函数ζ,但是,它给不出该函数的具体形式。量纲分析方法是通用的,它能有效地减少未知函数中独立参数的个数,而未知函数具体形式的寻找,则只能具体问题具体分析了。可以利用该问题的相关理论进行分析求解,也可采用经验的方法。例如,对于牛顿流体,如果人们已知,流量与粘性系数成反比、与负压梯度成正比,就可显著简化该函数:ζ([P],[μ0])=C[P]/[μ0],其中C是一待定常数。对于Bingham体,虽然流量与负压梯度不再成正比,但仍与粘性系数成反比,所以函数ζ仍可得到适度地简化:ζ=ψ(P)/[μ0],其中ψ是一未知的单变量函数,它仍要用实验方法或理论方法来确定。但是它比确定双变量函数ζ简单得多。下面采用流体力学方法求解函数ψ(或者说ζ)。

fpK0b:Yd|u"}0

  对于定常、轴对称管流,轴向(x方向)动量方程可简化为(τrx为粘性应力)水利论文V:F)?xR BN

r-1(rτrx)/r+P=0

Y| }J0^I|0

(5)

:K'xNcJ$J'Tk0

解方程得到

aP x*c*Od^_5i%Qr0

τ00u/r≥-τrx(r)=rP/2

G5t!n4LY0

(6)

7K6av }2l0

u(r)=水利论文 oC-HBP(m*D

{P(D-2r)(D-4rcr+2r)/(16μ0)0.5D≥r>rcr

(7)水利论文#C#MBhg8f7O

P(D-2rcr)2/(16μ0)

rcr≥r≥0水利论文_!ZYu7PH:^:x4b+z

rcr水利论文p&tHgVCCW#x

{0.5Dτ0/τw=2τ0/P P≥4τ0/D

(8)

V,vU ~j&Ifv'Aw0
0.5DP<4τ0/D

`a9I d{ LRm-w-j*D%x0

(9)

T^8N_e7C4O5c0

这就是著名的Buckingham方程[2],其中rcr是流核半径,它们的无量纲形式分别为水利论文T/H!q i!C-| Pu

r!hh Ar?B0
{τ0/τw=[τw]-1=4/[P][P]³4

(10)

7Xjd@By0f2m0
1[P]<4

水利论文!C S4Qz*`5C

(11)水利论文 e^5V6}9W6V

以上采用流体力学方法给出了函数ψ([P])和ζ([P],[μ0])的具体形式,即式(11)的右边。图1(a)给出了轴对称管流的([μ0[U])~[P]曲线。

lgN:F:f%D0  无量纲方法不是唯一的,例如,人们也可选μ0、ρ和τ0作为基本量,它们的值分别作为粘性系数、密度和应力的单位,则时间、长度、速度、加速度和压强梯度的单位分别为(μ0τ-10)、(μ0ρ-1/2τ-1/20)、(ρ-1/2τ1/20)、(μ-10ρ-1/2τ3/20)和(μ-10ρ1/2τ3/20),无量纲的流Q*量、平均速度U*、压强梯度P*、壁面摩阻τ*w、管径D*、流核半径r*cr和Reynolds数Re分别定义为水利论文c C gT$c:G`v

图1 轴对称管流中无量纲平均流速 压降曲线
c(XXqdO0Fig.1 Relationship between the averaged dimensionless velocity and pressure drop in an axisymmetric pipe flow水利论文 O8D{Zw5h3t%Q`.L
水利论文 fyQ8sg.R#r wk

9\4gn%|8p%T?0

(12)

Ud/R~%U0

水利论文0cH7O+i:NVp(}P.qF.dY

水利论文k0@x T[|'W

(13)

doqHMj _*lF I$K s0

水利论文Hjt4oJf/{OZ

(14)水利论文G'd#Ap K!Y2g(w-J

v:Sp3jX7_P$l0

(15)

w-`!AI Z0k0

这时Buckingham方程(9)的无量纲形式为(参见图1(b))

Cwu4b4aE0

水利论文2fn&V b `*C$Xs

    D*P*4

(16)水利论文sYd:X }#{ F{o+J

    D*P*<4

许多文献中引入如下定义的Hedstzom数He和阻力系数f

2zLZ Df"m K(e1|7c0

He=D2τ0r02,f=2τw/rU2

*C `5{H SJ5A9wc SX0

(17)水利论文3r'Z.W!sgE-h6b

并将Buckingham方程(9)写成如下的无量纲形式[2,3]水利论文 d o(r!a"^

:{5AHE-CmC-\rV$x0

(18)

MNg^nC9I!k7]0

采用这个公式,由负压梯度P(=4τw/D)求平均流速U时很不方便,因为在f和Re中都有未知量U。为便于求解,有些作者提出忽略式(18)中的高次项,其实完全没必要[24]。本来公式(9)并不复杂,写成(18)那样的无量纲公式是把简单的问题搞复杂了。

X fTn&f%GdZ:o0

  引入式(11)和(16)那样的无量纲公式是有意义的,它把公式(1)中涉及很多参量的U与P之间的函数ξ,简化为只依赖单参量的[U]与[P](或者U*与P*)之间的函数ψ。这样简化以后就很容易制成图或表,以备查阅。

0q7g XJ*? FVo3l0

  在引入无量纲量时应注意,不宜选未知量作为基本量,因为它会使许多无量纲量都成为未知量,不利于求解。水利论文@k Z+hR t{

2.2 定常、二维管流水利论文+DZ,\DG#T R

对于管高为2h的定常、二维、充分发展的管流,用类似的方法可得到如下各式

+j/tLR nzPj%F0

Q=2hU=2xa(P,h,r00)

;Lz*~+EL~/u0
(1)a

2τw=2hP,τw=hP水利论文)aY5d s5K+au

(2)a水利论文O R J]2a V

τzx/z+P=0水利论文 ? Z:j b(i/]^\b

(5)a

τ00uu/|z|≥1-τzx(z)|=|z|P水利论文H(kS i*vw6~

(6)a水利论文$aS ay^5vc

u(z)=

.un5G/~_qZ0

{

2tNb c q%\e$y0
P(h-|z|)(h-2zcr+|z|)(2μ0)h≥|z|>zcr

(7)a水利论文\4q],s8b#KE"s#l_

P(h-zcr)2/(2μ0)zcr≥|z|≥0

zcr

a.[ {Q^9k*l0
{0/τw=τ0/PP≥τ0/h

(8)a水利论文Is,n0` t6V J

hP<τ0/h

二维的Buckingham方程为[2]水利论文(\'E6z!n1}aFg

水利论文4Hc'~ B+OPqm

(9)a水利论文s&X4O l6hW{^&o

以2h、ρ和τ0为基本量,各无量纲量的定义和无量纲的Buckingham方程分别为

b3l1`"I/[%Fm h*Tb0

xLK&j*]'d ~2N0

(3)a水利论文A LW+sB%F

}#FJxgE n`h8X0

(4)a水利论文/wV6p5cJ7F

;rVwc+MS&`D0
[P]≥2

(10)a

,NyV ogs0
[P]<2

F a2j.A4kB/z0
[P]≥2

(11)a水利论文q%~iXH#_

[P]<2

如以μ0、ρ和τ0作为基本量,各无量纲量的定义和无量纲的Buckingham方程分别为水利论文Zefj9^P?

水利论文|#P[6c:UF

(12)a水利论文;OYf+l@3t

水利论文4ukM-F!a

(13)a

oPV!c`;[0


yC2GGG hj0图2 二维管流(或明渠流)中无量纲流速 压强(或水深)曲线
$wBGM(Sn0Fig.2 Relationship between the dimensionless velocity and pressure drop (or depth) in a 2-D pipe flow(or channel flow)
水利论文}]P0N"cMy NU r m

水利论文j1I!umes]

h*P*≥1

(14)a水利论文7Q:i3A)Rc

h*P*<1

Pp+`j1f3zvj0

(15)a水利论文1jGlI G3]{aON

#?\)QKk M,b Y0
h*P*≥1

(16)a水利论文(^L&m1y"QK }(v*o,p

h*P*<1

用式(11)a和(16)a计算的结果分别示于图2。水利论文W H wS#P&D4D

  如引入下面(17)a定义的He和f,则无量纲的Buckingham方程如式(18)a所示水利论文6kE*Y'[5O0S1_

ev6bo Q@At/n0

(17)a水利论文 wQ]/xt,A&Gf

(R4^aU,|#Am0

(18)a水利论文+J8VVn6X-Tc'd

2.3 定常二维充分发展的明渠流

6J*O"G-^ M'a.D0

  定常、二维、充分发展的明渠流的流速分布与定常、二维管流的下半部流动完全一样,但是,这时的驱动力P是重力的流向分力,P=ρgsin。依照通常习惯,在二维明渠流研究中,z=0平面位于床面,因此,只要在式(1)a、(6)a、(7)a和(9)a中用(h-z)代替|z|,用τzx代替|-τzx|,用2Q代替Q,就能得到定常二维充分发展的明渠流相应的公式,式(2)a、(5)a和(8)a完全不用改变。水利论文&j N.DPV

水利论文2ap PM1r aKi'y(u

(1)b水利论文6A5^0yL4~'e)l

水利论文^aL(K4Z-j

(6)b水利论文)S6CDE!e

]%[Yp'hx;m:~|0E0

(7)b

fM_\5VhB-X$a2lq}0

水利论文3`;a4W aF

(9)a

? \!g:f!IYQR}_0

&Y)\\Tw C0若以h、ρ和τ0为基本量引入无量纲量[U],[P],[μ0],[rcr]等,则只要用2[P]代替[P]、用0.5[μ0]代替[μ0]、用[zcr]代替[2zcr],二维定常管流的无量纲式(10)a和(11)a就转换为明渠流各式了,包括图2(a)水利论文 T wTA4bU

水利论文2Ih8i6m#l9c9kV

(10)a

,zK4[ M!d(I+g0

H1j0S0_ }9y2ds3Z6q0
[P]≥1

(11)a

%_8HPf(P\s0v-f d y;[B0
[P]<1
水利论文rn p9r.L4Q;N$I3L4m$m

但在明渠流问题中,水深h常是未知的,用它作基本量得到的结果不便于使用。如以μ0、ρ和τ0作为基本量引入无量纲量U*,P*,h*,r*cr等,则各无量纲量的定义和无量纲的Buckingham方程(13)a~(16)a仍基本上适用,包括图2(b),只是Reynolds数的定义和Q*~U*关系需改为

?'Yv0R[0

水利论文rG s6XG

(15)b

  在明渠流问题中,采用P/ρ(=gsin)、ρ和τ0作基本量可能更方便,它们分别是加速度、密度和应力的单位,则时间、长度、速度和粘度的单位分别为[ρ-1/2τ1/20(gsin)-1]、[ρ-1τ0(gsin)-1]、[ρ-1/2τ1/20]和[ρ-1/2τ3/20(gsin)-1],无量纲的平均流速〈U〉、水深〈h〉、粘度〈μ0〉分别定义为水利论文8R"K{t[vC

RUhH^ni0

(19)

rM+Cb'u iB*x0

tfM.Pi*Z4r'a@0
{<h>=hrsinq/τ0≥1

(20)水利论文Ba CB'H$qW p

<h><h>=hrsinq/τ0<1
这时Buckingham方程可表示为(见图3)
    
(21)

  如引入如下定义的Hedstzom数He和阻力系数f,则相应的Buckingham方程如式(18)b所示

S.ie Et Wr0

 

+aC{ Q/L0
(17)a

 

fb-O2Pw8r3H0
(18)a

水利论文|5g0w,HvQ/[ VR
水利论文"hw6PDS*B5Mk
图3 明渠流中无量纲流速-水深曲线
3Z(s3nM P0Fig.3 Relationship between the dimensionless velocity and depth in a open channel flow水利论文c)xUjg]V

不论由流速求水深,还是由水深求流速,这个方程都不方便,因为水深h和流速U在He,Re和f三个变量中,都至少出现两处。

F6}?_UaNw0

3 二维、充分发展的阵性流水利论文$E(nSM|se TM \

  粘性泥石流运动多呈阵性,这可能与Bingham体连续流的运动不稳定性有关[5]。阵性泥石流在干床上运动时,由于它在运动后都会留下一定厚度的残留层(能长时间保持不动),因而运动的介质会越来越少,这就是所谓的“铺床过程”。对于一定的介质,在一定坡度(tanθ)的二维渠道内,残留层厚度不可能超过临界值zcr(=τ0/ρgsinθ)。我们的数值计算表明(另文发表),泥石流通过后留下的残留层一般也不小于临界值,基本上等于临界厚度zcr。所以,一定量的泥石流体在已铺过床的渠道内运动时(假设原残留层内的介质与运动的介质相同),流体总量基本上不变。这样,如果渠道的几何条件沿程不变,那么泥石流体的运动速度和形态最终将趋于稳定,这就是充分发展的阵性流。如果有一个跟随阵性流一起运动的坐标系,并在该坐标系内考察运动,那么充分发展的阵性流的运动是定常的。

!k4t,Cu5g+U0

  由定性分析可知,充分发展的阵性流的运动速度U依赖于介质密度ρ、屈服应力τ0、粘性系数μ0、运动介质的(单宽)总量Q、重力加速度g和倾角,即

-l-Ub w D9JeC| U0

U=F(ρ,τ00,Q,g,θ)水利论文V#s"^Yr^H

(22)

%E9jU n-e ~-Nxr-P0

如选ρ、τ0和g作为基本量,它们的值分别作为密度、应力和加速度的单位,则时间、长度、速度和粘性系数的单位分别为(ρ-1/2τ1/20g-1)、(ρ-1τ0g-1)、(ρ-1/2τ1/20)和(ρ-1/2τ3/20g-1),无量纲的阵性流速度〈U〉、运动介质总量〈Q〉、粘性系数〈μ0〉和残留层临界厚度〈zcr〉分别定义为水利论文| m ~(~:vr$t

水利论文Kce9[3t

(23)水利论文KkXcPF

对于阵性流,可采用如下定义的Reynolds数

(m y)C0Yf0

水利论文E])HVL Wh

(24)

].~Cu+u w(~+s9j"T0

这时式(22)可简化为[1]

Rbf \U&{%E h0

〈U〉=F(1,1,μ*0,Q*,1,θ)=Φ(μ*0,Q*)

D%y+v^ U1ak9W$sp)p0

(25)水利论文1Qo"O}(w9FZ U

函数Φ的具体形式需通过求解流体力学方程得到。水利论文s8B[&y kAx

  在实验室坐标系中,非定常、二维、不可压缩流体(无量纲化的)运动方程为(为书写方便,在本段落中略去了表示无量纲的符号〈〉)

D6a(LIk"l*x`0

水利论文 ](B1n'bM b;t%z T(^L S

(26)

水利论文3[n3u#L+Z$@W'io Wh

(27)

水利论文z#C&D"EA _ CyOs

(28)

Bingham体的应力本构关系为[6]水利论文"tS#@EtK

"S|tSK0

(29)水利论文acB j a

其中,应变率eij=0.5(ui/xj+uj/xi),q=(2eijeji)1/2。由于边界条件都是齐次的,不涉及任何特征量,在此从略;在初始条件中,对充分发展运动状态有影响的仅仅是运动介质的总量〈Q〉,故也不在此详细列出。水利论文? I7Zk.]E

  与前面研究过的几种连续流不同,阵性流中某些区域(例如龙头区)有显著的垂向(z向)运动,因而垂向动量方程(28)不能略去。由于垂向动量方程中有因子cosθ,所以,即使在<Q>和<μ0>的定义式(23)2和(23)3中采用gsinθ代替g,方程组(26)~(29)中仍然包含无量纲量,不能减少独立无量纲参数的数目。也就是说,在无量纲函数Φ中,除在变量<μ0>和<Q>中含有因子sinθ外,θ还可能以其它方式影响函数Φ。所以,我们宁愿采用式(23)定义的<μ0>和<Q>,Φ一般说来是<μ0>、<Q>和三个无量纲变量的函数。虽然还可以采用其它的无量纲量,如Reynolds数Re,Hedstzom数He和阻力系数f等,但是,我们推荐采用<μ0>、<Q>和θ,因为它们分别代表了介质物性,阵性流总量和渠道的几何,都有简明的物理或几何意义。例如,在<μ0>的定义中,除不变的常量g以外,都是与介质物理性质有关的量,即密度ρ、屈服应力τ0和粘度μ0。此外,在这些无量纲量的定义中涉及的都是已知量,不包含像运动速度U和龙头高度等未知量,使用比较方便。

x~ q(gGv0

4 结论

\'mky2]U0g+iJb0

  (1)不论是轴对称管流、二维管流、还是明渠流,都可用Buckingham方程(轴对称管流的(9),二维管流的(9)a和明渠流的(9)b)计算平均流速U。有多种方法可将Buckingham方程变成无量纲形式,例如轴对称流的式(11)、(16)和(18),或二维流动的式(11)a、(16)a和(18)a,或明渠流的式(11)b、(16)a、(21)和(18)b,使原来有六个变量的关系变成只涉及三个变量之间的关系,便于制成图表。但是,这些无量纲关系使用的方便程度有很大差别,例如,式(18)、(18)a和(18)b中有两个变量涉及未知量U,(18)b中有两个变量涉及水深h,因而不便于使用。水利论文 tr iplRz

  无量纲化时,一般不选未知量作基本量。在管流研究中,由于管子的特征长度(管径D或管高2h)通常已知,所以,可选D(或2h)、ρ和τ0作为基本量。水利论文o0e.p n2V4r%L

  (2)二维明渠中的连续流与二维管流的下半部流动基本上一致。由于明渠流中的水深h常常是未知的,所以,无量纲化时,可选gsin、ρ和τ0作为基本量。

'@G|$f^,@+\0

(3)对于二维明渠的阵性流,可选g、ρ和τ0为基本量,这时,无量纲速度〈U〉依赖于<μ0>、<Q>θ和三个无量纲变量,其中,<μ0>代表了运动介质物性,<Q>代表了阵性流总量,而θ则反映渠道的几何特性,都有简明的物理或几何意义。

(F'F VIu7tu0

参考文献水利论文 o ?k!f4{5~t(b P!@ r

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^ gLs,CGCc0

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[6] 陈文芳.非牛顿流体力学.科学出版社,1984.

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