流速梯度对悬浮颗粒脉动强度的影响(李丹勋,王兴奎,王殿常)

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流速梯度对悬浮颗粒脉动强度影响水利论文j I4s0N,@U;L$[

李丹勋王兴奎王殿常

5x5T)`pG}0

(清华大学)水利论文.aK*`x4z%r

摘要:从简化颗粒运动方程出发, 分析了在剪切流场中颗粒脉动强度和流体脉动强度之间关系。结果表明, 由于纵向时均流速垂线分布梯度作用, 颗粒在两个方向上脉动强度均可能超过相应流体脉动强度。

9pl3PW$ZHycq}0

关键词:流速梯度; Stokes数; 脉动强度水利论文 K k,rt}:Ed3J

基金项目本项研究得到国家自然科学基金(59479012)和自然科学基金重大项目(59890200)资助水利论文]!k1WgF1y

作者简介:李丹勋(1970-),男,工学博士清华大学讲师。

t z&|5v i0

1 引言

:u6@)^,]1X&gy5?W1oy `+T0

  对于细小悬浮颗粒在恒定、均匀、各向同性紊动流场中的运动, 理论分析和试验量测都表明: 颗粒的脉动强度总是小于相应流体的脉动强度,而且随颗粒Stokes数(Stokes数定义为α=ωe/β,ωe和β分别是紊动场含能漩涡的特征频率和颗粒的反应频率)的增大,颗粒脉动强度将减小;当α足够大时, 颗粒的脉动强度将趋于零[1,2]水利论文p+m$? z5t,}2r

  随着LDV(Laser Doppler Velocimetry)和PIV(Particle Image Velocimetry)技术的发展与应用, 对颗粒在剪切流场中的运动有了较多的实测成果,不少文献中发现了颗粒的脉动强度大于相应流体的脉动强度的现象[3~6]。Lijegren 通过理论分析表明, 纵向时均流速的垂线分布梯度的存在,使得颗粒纵向脉动强度有可能超过流体脉动强度,而颗粒垂向脉动强度则不受流速梯度的影响[7]

*Th%|Wp1Xj%~5^a0

  本文在Lijegren工作的基础上,考虑了流速梯度引起的Saffman力的影响, 进一步分析了颗粒脉动强度和流体脉动强度之间的关系。结果表明, 由于纵向时均流速垂向分布梯度的作用, 颗粒在两个方向上的脉动强度均可能超过相应的流体脉动强度。

1e6c'l_%i5rT$Sh(o0

2 颗粒运动方程水利论文-h F%oG ztoC

  考虑圆球状单颗粒在二维恒定均匀剪切流场中的运动。当粒径较小时,阻力可用Stokes公式表示。 只考虑颗粒所受的Stokes阻力和垂向的Saffman力[8], 忽略其它力的作用,则颗粒的运动方程可表示为

Gt-l'z1s^u6F0

(π/6)D3ρp[(dUp)/(dt)]=3πμD(Uf-Up)

%|(G-N;\:T.J0

(1)水利论文W G1W;E!~6k^

(π/6)D3ρp[(dUp)/(dt)]=3πμD(Vf-Vp)+δ′(Uf-Up)

"qf@j'?nr1H0

(2)

;`+R-Ts3E?+dz0

式中 D表示颗粒直径,下标f,p分别代表流体和颗粒,U, V分别表示纵向和垂向流速,μ为流体动力粘性系数。, 其中G为纵向时均流的垂线分布梯度:G=d/dy. 为简化分析, 这里取G为常数.水利论文]|i)^P

  将式(1)、(2)整理得水利论文5B,WS_^P3k2a

(dUp/dt)+βUp=βUf水利论文d(C8}bgQ)w S!d6p

(3)水利论文k.rR;f9t"Z8o

(dUp/dt)+βUp=βUf+δ(Uf-Up)

IX l)Kyd{u0

(4)水利论文 yj'D Z&ogI

  其中β=18μ/(D2ρp),δ=6δ′/(πρpD3)。水利论文3{*@K2F*l3n"xb

  按照Lijegren[7]的方法对式(3)作进一步分析。引入水利论文(p@;q6i&E c^MF

ΔU=Up-水利论文wmbhIM&W o^Q

(5)水利论文7Ght&gl R(i [

其中Uf=+uf,uf为脉动速度。由式(5)可得水利论文&y,ZaOn [x

8X#r!sjH`S0

(6)

*Lc!L ?)E}wPS;Q0

沿颗粒的运动轨迹观察, 有

E.`6ROs g:k {/j@1K0

水利论文&B+t!_eDS O

(7)

!cY E$EF0

把式(5)、(6)、(7)代入式(3)得

l-F8DZ;Rx?dK BB0

(dΔU)/(dt)]+βΔU=-GVp+βuf水利论文"F+svZ&p;},S l

(8)

5XnV-E"K3wq9~0

不考虑体积力, 对细小颗粒有=0。对式(8)取平均可得

m@J_8~0

水利论文F E |]-y'P

(9)

8C%R\D_C.g3IU@0

式(9)为简单的一阶线性微分方程,其渐近平稳解=0, 即在摆脱初始条件的影响后,有p=f。结合式(5)可知ΔU=up, 同时在二维恒定均匀流中有=0, 则式(8)、(4)可分别写为水利论文F%u.q5w6m7@#P"GOO

[(dup)/(dt)]+βup=-Gvp+βuf水利论文2_R[[?

(10)水利论文-uz+S#y$p3_J0z"x

[(dup)/(dt)]+βup=βvf+δ(uf-up)

Nl;cU;A$zs"T!N(B0

(11)

]B!fM T |+Gi&E0

式(10)、(11)即为用脉动流速表示的简化的颗粒运动方程。水利论文w4R+gX:U6H&cl

3 颗粒脉动强度分析

-N1pdlP:d Db b0

  对普通函数f(t), 只有当收敛时,其Fourier积分才存在。而对随机函数而言, 任一个平稳的随机过程, 虽则当t为无穷大时并不趋于零, 但其具有明确物理意义的Fourier变换仍然是存在的[9]。定义,对式(10)、(11)进行Fourier变换水利论文;b]O;[-L5~Y@

水利论文7JY)a{;m |

(12)

*L:D? _n-|ei0

水利论文8@uRn5bq

(13)

a3E:n(p4D.~0

整理可得

)V9B z:L3z3}^~EJD0

EeC:fn}G)\0

(14)

B2Zx lkTT0

(ω)和(ω)来表示(ω)和(ω),则由式(14)、(15)可得

Ly0EKj}F!k5?0

Z\ zZ k@(H5r0

(14)

-W{ G(n4|pw k2C$i0

水利论文"Y ^#n-sG8C

(15)水利论文5J-t"G{+Zd#OS

记能谱密度:S(ω)=|F(ω)|2, 则由式(16)、(17)分别可得水利论文to/_g1I

5CKTt;HF0

(18)水利论文!vAP!D+O mi7|2i

水利论文H}O$b&v"u:q Q

(19)水利论文j*`5\9Ap@

其中

pF.HJ~x/M7g0

UI-Ff1eS0

(20)水利论文-{:QPa vr9B&h db

水利论文+c;~ {Vf.S

(21)

/F5Y Ed5[N:W0

水利论文;P^%N-{#HBrP8I2A,D

(22)水利论文)c*b5pa%LqywQ-Fw

unp^|'{?kRr0

(23)

0`N/^_d+@0

水利论文H-Hz f,v(yD

(24)水利论文-Z|T~.s1q.zsO

水利论文/^+{sj nm%q:ib{

(25)

wW!j%` N4n2I0

对能谱密度进行积分,可得脉动速度的均方值。从式(18)~(25)可得

-o XF*~\W0

水利论文rv5k8Fm9DB

(26)

k K,E*|V3U0

$X lk\c8I0

(27)

_5leadEb0

其中水利论文FV"L)o3iW

水利论文Zc+KhZj

(28)水利论文R1n1H}r'[+n/i7z@S

水利论文_?%lF:wf

(29)水利论文ycA6f7O-VL*dX

0nu+q1B#lSm0

(30)水利论文,LP A8B4F*_b

3g3p:s Ta^ W0

(31)水利论文L/Gc4T1YNo2ZDI7j k

JR/Y+q-s:|0

(32)

-jz7d(fm`7yJh2x,F0

水利论文2Z@w(C5fW7nD;]+R*}y\

(33)

3E)Y{(eKg(P0

  颗粒的纵向脉动强度由3项组成:M1项是颗粒脉动对流体脉动的响应, M2和M3两项则是由于流速梯度引起的附加项, 而且流速梯度越大, 二者的作用越明显。易知 M2>0。在剪切流场中,的符号和流速梯度G的符号相反, 由此从式(22)、(30)知, M3的符号和(β2-δG)的符号相同, 当(β2-δG)>0时, M3>0。

f.u{;T L}{G0

  颗粒垂向的脉动强度也由3项组成:N1项是颗粒脉动对流体脉动的响应, N2和N3是流速梯度引起的附加项, 而且流速梯度越大, 二者的作用越明显。易知N2>0, N3<0。水利论文7O A"hepw$iVC

  下面定量考察流速梯度G的影响。记α=ωe/β,λ=δG/B2(λ>0), 则有水利论文b9`(pDm s-U8^

22-δG)2+4β2ω2=[ω2+(1+)2β2][ω2+(1-)2β2]

*TU&oT(_6a0

(34)

y$S\`Y0

则Xi, Yi(i=1,2,3)分别可以写为水利论文7P*~#_no$_ SY#^

vlm$}+Z?${d!?0

(35)水利论文5Y:y!W _;G h

S#G$HFy0@T0

(36)水利论文Aj4d)l)cg5Maj)M9m

其中水利论文GWl{1w2W

水利论文 AS9w,c q\+E/zl

e, 则ω/β=α, 从而有水利论文(nT~.vp'j

水利论文6Q+p"c-mc|~#bj A

(37)水利论文xh4F[/V;n:i+E

O'wOq_C0

(38)

6@[,C:{u6F1VjE+{0

  其中:α1=α/(1+),α2=α/(1-),λ≠1。下面的分析只考虑α2>0, 对于α2<0的情况, 可得到相同的结论。

)M)Ig7np7hsp2f0

  进一步的分析依赖于对能谱密度具体形式的认识。Lijegren[7]在其分析中采用如下能谱密度形式

DP7`/yp*p{0Q,r0

水利论文f"U7D;` G3^5Ze5D{^

(39)水利论文c d]h M

  u′为流体的特征脉动速度, 在各向同性流场中, 有u′2==,ψ为Lagrangian长度积分比尺, 对于Xii, 有

q P\2KX/c#r0

水利论文p/T ` zT${zC

(40)

4H%z O6K%v0i0

  ωd为截止频率, C0为常数:C0eψ/u′=3π/[2(2-ωed)]

U9^/Hz F,w0

本文采用同样的能谱密度形式。记

,{8S@ J'bgW3R0

水利论文7G`T'v1_!eY+p

(41)

~wCe^J qQA0

  把式(39)、(40)代入式(41), 在α1很小而α1ωde很大时,可得f(α1)的近似值

J sC~-Gd3R@3]_0

.b#M4B#Q fD0

(42)水利论文 I&eDv8_ ki_-l

  同理在α2很小而α2ωde很大时, 可得f(α2)的近似值为水利论文wg/dR j3gmBu

OJ&qz2J.f`0

(43)

y;w {v0Z$n0

  由以上的分析可得水利论文\*r2f.qDl

m O-xb:O+x2Y0

(44)

p)k"}6o1d4|M['G*T0

  同理可得

'ytSo-M{:v0

水利论文?@I cwN

(45)水利论文s#e!B s!xL9rX e|$Z.K

水利论文1M huoE5y

(46)水利论文oR\s|q$q

  由此可得

._d}-df/\*D(y0

7FD\"z O9LD0

(47)水利论文/E]PYhyH}9N

  从式(47)可知, 当下式成立时水利论文&W+{;Hqs|s

m1E%zR V0

(48)

)J9ubO_$}%s0

颗粒的纵向脉动强度将大于相应的流体的脉动强度。同时也可以看到,在不存在流速梯度时(G=0,λ=0)有:/=1-π/4α+O(α2),即颗粒的脉动强度将小于流体的脉动强度。可见流速梯度对颗粒的纵向脉动强度有着直接而重要的影响。水利论文 G`z-Mm

  对于颗粒的垂向脉动强度, 按同样的分析方法,可得水利论文j!T0L-N1?bt]V8K

'X$na ? I+q9@.u#WU0

(49)水利论文N-a~K0Lb

水利论文a9bbL}

(50)

q(@ oIi6x(D0

Ky w'G'chG`0

(51)水利论文"?6`5z(W#{#d;U+\3d

从而有

`mu*f[*D0

K2}4f@ F:BEU0

(52)

&N6r;dg+VO+@$d'{0

  在λ<1时,有1/(1-λ)2>1,所以在α较小时,总有可能使得(52)式的值大于1,即颗粒的垂向脉动强度大于流体的垂向脉动强度。由上式也可知,在不存在流速梯度时(δ=0,λ=0)有:/=1-π/4α+O(α2),即颗粒的垂向脉动强度总是小于流体的脉动强度。可见流速梯度对颗粒的垂向脉动强度大小也有着直接而重要的影响。水利论文S@5S'N&Dit8p

34-1-1.tif (83534 bytes)
(1)纵向
34-1-2.tif (87314 bytes)
(2)垂向
图1 颗粒脉动强度和流体脉动强度的关系
The relationship between turbulent intensity of two phases

  由以上分析可知,由于流速梯度的作用,颗粒脉动强度有可能超过流体的脉动强度, 下面给出一个具体的算例。假定流场中含能涡旋的特征频率在100HZ以下, 表征紊动涡旋尺度的Komogorov比尺约为0.1mm的量级。对于0.01~0.1mm的细小轻质塑料圆球颗粒(容重为1.056), 取ωe=50HZ, 颗粒的脉动强度和流体脉动强度的关系如图1。

Ca!i#i/?1i#g1Yn:x0

  从图1可以看出, 对于极细小的颗粒(D<0.01mm), 无论在何种流场中, 其脉动强度和流体基本相同; 对于粒径和紊动尺度相当的颗粒(D≈0.1mm), 若流速梯度不存在,其脉动强度将小于流体的脉动强度; 而在强剪切流场中, 其脉动强度明显超过流体的脉动强度。水利论文#`.Z ^TU R5IQ)K

4 结论水利论文&[Q.eB:a9v9m+l

  从简化的颗粒运动方程出发, 分析了颗粒脉动强度和流体的脉动强度之间的关系。结果表明, 由于纵向时均流速的垂线分布梯度的作用, 颗粒在两个方向上的脉动强度均可能超过相应的流体脉动强度。水利论文 ytB1{5d6Q0o_Q ~

  在实际水槽流动中,由于流速梯度沿水深存在变化, 而且床壁附近颗粒与边界及颗粒与颗粒之间的碰撞频繁,因此对明槽悬移质的脉动强度还需要进一步的深入研究。本文的分析中引入了一些简化和假定, 得到的结论也只有在粒径较小时才有合理性,不能简单地类推至粒径较大的颗粒。

#rxzH"E0

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